五南官網-國中生一定要學的數學解題策略

第一單元
負數、數線、絕對值，因數、倍數與分數的四則運算 

題目1 - 1
已知甲 = -2 3/8、乙 = -2 + 3/8、丙 = -1.375，請問下列哪一個選項是正確
的解？
(A) 甲 = 乙
(B) 乙 = 丙
(C) 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
(D) 甲 ＜ 丙 ＜ 乙
（91 年基測二）

思考邏輯與解題策略
將甲、乙、丙都化為分母為8 的分數或小數。

解法一
將甲、乙、丙都化為小數
甲 = -2 3/8= - 19/8= -2.375
乙 = -2 + 3/8= - 13/8= -1.625
丙 = -1.375
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）

解法二
將甲、乙、丙都化為假分數
甲 = - 19/8，乙 = - 13/8，丙 = - 1.375 × 8/8= - 11/8
∴ 甲 ＜ 乙 ＜ 丙
解為（C）

題目1-5
圖 十四 的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和2 個各10 克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤，並拿走右側秤盤的1 個砝碼後，天平仍呈平衡狀態，如圖 十五 所示。求被移動石頭的重量為多少克？
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
（102 基測）

思考邏輯與解題策略
依照題意描述，問題中「似乎」出現三個未知數：左袋重量、右袋重量、一顆石頭重量，其中石頭重量是解題重點。

解法一
兩個天平平衡圖形，可列出兩個方程式
上圖 十四 左袋 = 右袋 + 20，設石頭重 = x
下圖 十五 左袋- x = 右袋 + 10 + x
兩式相減 x = 10 - x　∴ x = 5
解為(A)

解法二
直接利用左袋取代右袋，由下圖 十五
左袋- x = 左袋- 10 + x
∴ x = 5
解為(A)

解法三
依照天平平衡觀念直覺思考，右邊移出1 個10 克砝碼後，想要維持平衡，最簡單的做法是將左邊減5 克，右邊加5 克。所以石頭從左邊移出，加入右邊，代表石頭重為5 克。
解為(A)

題目1-6
威立到小吃店買水餃，他身上帶的錢恰好等於15 粒蝦仁水餃或20 粒韭菜水餃的價錢。若威立先買了9 粒蝦仁水餃，則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃？
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
（106 年會考）

思考邏輯與解題策略
(1) 確認一粒蝦仁水餃與一粒韭菜水餃價格比值，再由剩下的錢等於6 粒蝦仁水餃換算韭菜水餃的數量。
(2) 另類解法，直接假設一粒蝦仁水餃價格，求出一粒韭菜水餃的價格，及身上的錢總數。

解法一
買了9 粒蝦仁水餃，剩餘的錢可買15 - 9 = 6 粒蝦仁水餃。
15 粒蝦仁總價 = 20 粒韭菜總價
6 粒蝦仁 =2/5 × 20 粒韭菜 = 8 粒韭菜
解為(B)

解法二
一粒蝦仁：一粒韭菜 = 4：3
隨意設定一粒蝦仁水餃價格，例如：8 元，
則韭菜水餃價格 = 6 元
剩餘的錢是6 粒蝦仁水餃的錢 = 6 × 8 = 48 元
可以買48÷6 = 8 粒韭菜水餃。
解為(B)

題目1 -10
圖 二 數線上的A、B、C 三點所表示的數分別為a、b、c，且原點為O。根據圖中各點位置，判斷下列四個式子的值何者最大？
(A) |a| + |b|
(B) |a| + |c|
(C) |a - c|
(D) |b - c|
（109 年會考）

思考邏輯與解題策略
(1) 由圖形a > 0，b < 0，c < 0，所以|a| = a，|b| = -b，|c| = -c。
(2) 另類解法，可以依圖示直接設定合理a、b、c 數值。

解法一
|a| + |b| = |OA| + |OB| = AB
|a| + |c| = |OA| + |OC| = AC
|a - c| = |a| + |c| = AC
|b - c| = |b| - |c| = BC
∴ AB 最大
解為(A)

解法二
依照A、B、C 與原點O 位置，假設合理數值a = 2，b = -6，c = -4
|a| + |b| = 2 + 6 = 8
|a| + |c| = 2 + 4 = 6
|a - c| = |2 - (-4)| = 6
|b - c| = |-6 - (-4)| = 2
∴ (A) |a| + |b| 最大
解為(A)

題目1 -14
已知在數線上代表四數a、b、a + b、a - b 的點分別為A、B、C、D。若|b| > |a| > 0，則此四點的關係，下列敘述何者正確？
(A) A 到B 的距離與C 到D 的距離相等
(B) A 到C 的距離與B 到D 的距離相等
(C) B 到C 的距離與B 到原點的距離相等
(D) A 到B 的距離與D 到原點的距離相等
（97 年基測二）

思考邏輯與解題策略
(1) 數線上兩點的距離等於兩數值相減的絕對值。
(2) 另類解法假設a、b 數值直接代入檢測正確性。

解法一
A(a)，B(b)，C(a + b)，D(a - b)
(A) A ∼ B 距離|a - b|，C ∼ D 距離|(a + b) - (a - b)| = |2b|
(B) A ∼ C 距離|a - (a + b)| = |b|，B ∼ D 距離|b - (a - b)| = |2b - a|
(C) B ∼ C 距離|b - (a + b)| = |a| ≠ |b|
(D) A ∼ B 距離|a - b| = D 到原點距離
答案為(D)

解法二
假設符合|b| > |a| > 0 的任意數值
例如： 最簡單的b = 2，a = 1 ∴ C = 2 + 1 = 3
D = 1 - 2 = -1 ∴ A(1)，B(2)，C(3)，D(-1)
(A) AB = |2 - 1| = 1，CD = |3 - (-1)| = 4 ∴ CD > AB
(B) AC = |3 - 1| = 2，BD = |2 - (-1)| = 3 ∴ BO > AC
(C) BC = |3 - 2| = 1，BO = |2| ∴ BO > BC
(D) AB = |2 - 1| = 1，DO = |-1| = 1 ∴ AB = DO
答案為(D)

題目7-14
座標平面上有一個開口向上的二次函數圖形，其頂點為(15, 50)。若此二次函數在x = -30 時的函數值為a，在x = 40 時的函數值為b，在x = 50 時的函數值為c，則下列a、b、c 三數的大小關係，何者正確？
(A) a > b > c
(B) a > c > b
(C) c > a > b
(D) c > b > a
（112 年會考大陸考場）

思考邏輯與解題策略
(1) 利用開口向上，頂點(15, 50) 思考二次函數大略圖形，推論a、b、c 大小。
(2) 利用開口向上，頂點座標，設一簡單二次函數，再將不同x 值代入，求出a、b、c 數值。

解法一
開口向上，頂點(15, 50)，對稱軸x = 15，所以距離x = 15 愈遠的點，函數值（y）愈大。
(-30, a)：-30 - 15 = 45（離對稱軸最遠）
(40, b)：40 - 15 = 25（離對稱軸最近）
(50, c)：50 - 15 = 35 ∴ a > c > b
解為(B)

解法二
開口向上，頂點(15, 50)，設二次函數y = (x - 15)2 + 50
x = -30，y = 2075 = a
x = 40，y = 675 = b
x = 50，y = 1275 = c
∴ a > c > b
解為(B)

補充說明：解法二比較y 值大小，其實是比較| x - 15 | 大小，與解法一相同概念。
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