五南官網-國中數學基本素養１：數與代數的運算

小五南-學習高手
國中數學基本素養１：數與代數的運算

作　　者：許建銘
出版社別：小五南
書　　系：學習高手
出版日期：2024/03/14(1版3刷)
ＩＳＢＮ：978-986-522-135-5
書　　號：ZI30
頁　　數：180
開　　數：正20K
定　　價：300元
優惠價格：237元

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「知識零碎」與「思考紊亂」是國中生面對會考時不可輕忽的敵人，建議同學先搞懂「基本素養」，經由扎實而至融會貫通的學習歷程，才能穩操勝算。 

　　自2019下半年起，台灣中小學教育正式迎接新課綱的到來。本書作者配合教育新思潮的啟動，將國中階段的數學學習內涵分冊編撰為「數與代數的運算」以及「幾何概念與性質」共兩冊，希望幫助莘莘學子有系統地窺知整個國中數學學習領域的「基本素養」，一方面涵養扎實的數學知識，有效解決更新穎多變的未來試題；一方面獲得更貼近真實社會需求的能力，接軌快速變化的世界。
　　本書內容涵蓋國中階段的數學「核心知識」與「關鍵思考」（包含重要幾何定理的解說），期望透過全面性的扎實材料與奠基歷程，讓學生在參加教育會考時，除了能輕鬆應付基礎試題外，還能投入充裕的時間，解決可能面臨更大挑戰的精熟試題。

許建銘
曾經榮獲數學教學優良獎、數學教材甄選優選、資優數學教材甄選優選、全國數學教師創意教學競賽金牌獎、特優獎，全國資優教學銀牌獎，指導學生參加全國科展榮獲國中數學科第一名、第二名，指導學生參加青少年國際數學競賽，榮獲總決賽金牌獎，並於2006年榮獲師鐸獎。

01.數線與整數的四則運算 

一、數線與相反數
（一） 數線組成三要件：⑴ 原點；⑵ 正向（習慣以右為正）；⑶ 單位長（可依狀況
選定任何適當長度）。
（二） 數以性質分類為 ⑴ 正數：大於 0 的數（包括正整數、正分數、正小數⋯⋯）；
⑵ 零：中性數（既不是正，也不是負，但 0 是整數，也是偶數）；⑶ 負數：小
於 0 的數（包括負整數、負分數、負小數⋯⋯）。
（三）整數分成正整數（又稱自然數）、0、負整數。
（四）最小正整數為 1，最大負整數為 –1。
（五） 相反數：在數線上原點的兩邊，且與原點距離相等的兩點所表示的數稱為相反
數。
⑴ 5 的相反數是 –5； –（–7）的相反數是 –7；0 的相反數是 0；a 的相反數是 – a。
⑵ 相反數的性質：若甲、乙互為相反數，則甲 + 乙 = 0。

二、絕對值與兩點距離
（一） 絕對值的意義：在數線上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對
值。例如：–3 的絕對值為 3，記做 |–3| = 3；|–5| = 5 ≠ –5，– |–5| = –5，– (–5) = 5。
（二）若 a 為任意數，則 |a| ≥ 0。
（三）⑴ 若 a > 0，則 |a| = a；⑵ 若 a = 0，則 |a| = 0；⑶ 若 a < 0，則 |a| = –a。

例題
請問絕對值小於 12 的整數共有多少個？

三、絕對值的大小比較
（一）若甲、乙為任意兩數，則 |甲| + |乙| ≥ |甲 + 乙|。
（二）若甲、乙是同號數或有一為 0，則 |甲| + |乙| = |甲 + 乙|。
（三）若甲、乙是異號數，則 |甲| + |乙| > |甲 + 乙|。

四、整數的運算性質
（一）加法交換律：甲 + 乙 = 乙 + 甲。
（二）加法結合律：(甲 + 乙) + 丙 = 甲 + (乙 + 丙)。
（三）甲數減乙數 ⇔ 甲數加上 (乙數的相反數)，即甲 –乙 = 甲 + (–乙)。
（四）乘法交換律：即甲 × 乙 = 乙 × 甲，例如：3 × (–2) = (–2) × 3。
（五）乘法結合律：(甲 × 乙) × 丙 = 甲 × (乙 × 丙)，例如：
[(–2) × 3] × (–4) = (–2) × [3 × (–4)]
（六）乘法對加減法的分配律：
⑴ 甲 × (乙 + 丙) = 甲 × 乙 + 甲 × 丙；(乙 + 丙) × 甲 = 乙 × 甲 + 丙 × 甲。
⑵ 甲 × (乙 – 丙) = 甲 × 乙 – 甲 × 丙；(乙 – 丙) × 甲 = 乙 × 甲 – 丙 × 甲。
⑶ (甲 + 乙)÷丙 = 甲÷丙 + 乙÷丙；(甲 – 乙)÷丙 = 甲÷丙 – 乙÷丙。

五、減法運算中的「變化多少」
（一）狀況改變多少＝(改變後的狀況)－(改變前的狀況)。
（二）溫度變化多少＝(最後的溫度)－(原來的溫度)。
）水位總變化 ＝ (最後水位的位置) – (最初水位的位置)
＝各次水位變化的總和（正數表上升；負數表下降）。
（四）時間變化：
⑴ 現在比三年前：0 – (–3) = 3（多 3 年）。
⑵ 三年前比現在：(–3) – 0 = –3（多 3 年）。
⑶ 二年後比三年前：2 – (–3) = 5（多 5 年）。
六、三一律
（一）甲、乙兩數，一定可以比較大小，其大小關係恰為下列三種的其中一種：
⑴ 甲 > 乙；⑵ 甲 = 乙；⑶ 甲 < 乙，即未比較前有三種可能性，但如完全比較
出來，恰有其中一種成立。
（二）不等號的意義：
⑴ ≥（不大於）⇔ ≤（小於或等於）。
⑵ ≤（不小於）⇔ ≥（大於或等於）。
⑶ ≠（不等於）⇔ > 或 <（大於或小於）。
七、遞移律
（一）甲 > 乙，乙 > 丙 ⇒ 甲 > 乙 > 丙。
（二）甲 = 乙，乙 = 丙 ⇒ 甲 = 乙 = 丙。
（三）甲 < 乙，乙 < 丙 ⇒ 甲 < 乙 < 丙。
八、自乘與乘方
（一）乘方：同一個數本身連乘若干次叫做自乘，所得的積稱為此數的乘方。

九、完全平方數
若一個整數 a 可以寫成 b 2（其中 b 為整數），則稱 a 為完全平方數。若將此數寫
成標準分解式，則其每個質因數的次數都是偶數。完全平方數的常見計算樣式如 5 +
5 + 5 + 5 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 52，透過圖示，更可
以了解這三種計算樣式間的恆等關係。

十、更改原點或單位長
例題
數線上有 A、B、C、D 四點的坐標分別為 –5、7、11、19。
⑴ 若以 A 點為新原點，單位長不變，請分別寫出 B、C、D 的新坐標。
⑵ 若以 B 點為新原點，原單位長的 2 倍為新單位長，請分別寫出 A、C、D 的新
坐標。
⑶ 若以 C 點為新原點，且新單位長的 4 倍等於原單位長，請分別寫出 A 、B 、
D 的新坐標。

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