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函數是一個非常基本而且重要的觀念，不但在純數學上是重要的，在許多科學領域上更是重要而有用。
其實，所謂的函數用比較通俗的話來說，就是一種關係或關聯，比如在一天中，每個鐘頭各有它的氣溫，這樣在「時間」和「溫度」間就有關係存在，這種關係便是函數。比較一般的來說，在兩組「集合」間的關聯就是函數，通常我們最常用的函數是兩組「數量」間的關聯。
這種關聯還有一些限制才能真正叫函數，這兒我們把函數的正式定義寫下來：
有A和B的集合，假如對於A集合的每一個元素，都可以在B集合中找到一個，而且只有一個元素和它相關聯，那麼，這個關聯就叫做A到B的函數。A集合就稱為這函數的定義域。B集合則稱為這函數的值域。
注意到對應A集合中的一個元素，只能有一個B集合的元素，不能有兩個以上，但非有一個不可。反過來說，B集合中的一個元素可能和A集合中兩個以上元素相關聯，所以我們不能把函數的定義域和值域換過來。換句話說，光只兩集合間的關聯本身不能就一定符合函數的定義，還需要規定那個是定義域，那個是值域，而且這個關聯也必須符合那個單一值的規定才行。
比如說sin x是個三角函數，它的定義域是所有實數，它的值域是1到+1間的所有實數，你給任何實數x，就有在1到+1間的某一定值和x對應，所以sin這個關聯確實是個函數，但是如果你問當sin x是某個實數時，x是多少，則答案就不只一個，所以當你把原來值域當作定義域，把原來定義域當作值域時，sin雖然也是這兩組間的關聯，但不符合單一值的規定，所以不符合函數的定義。（大家可以注意到定義反三角函數時，對值域有特別的規定，否則就不能算函數。）
現在我們知道要定義一個函數，必須要有兩個集合A和B，其中一個（A）叫定義域，另一個（B）叫值域，然後有個一定的關聯在，通常為了容易表示起見，在定義域A中的一個元素，我們用字母x表示，這個x就稱為自變數，對於這個自變數x，根據這函數的關聯一定可以在B集合找到一個元素y，y就稱為是因變數。其實自變數和因變數的命名是很自然而且合理，因為x可以先在A集合中「自」由選取，然後通過函數關係，y就「因」x而在B集合中被選中了。
在氣溫和時間的關聯函數中，時間是定義域，氣溫是值域，假如把h當一天的某一時刻，T表示氣溫，那麼h就是自變數，T就是因變數。
現在讓我們來看怎麼表示一個函數，換句話說你怎麼告訴別人一個函數，最直接的辦法是，把兩個集合的每一個元素通通對應的列出來。這雖是直接了當，但常常元素太多了，列起來很麻煩，所以另一種常有的表示法，就是告訴你一個從自變數找因變數的法則，如果你能明確的表示這法則就行了，在我們所處理的函數，通常兩個集合都是實數，也就是定義域是實數，值域也是實數，而函數則是表示兩堆實數間的關係，在這種情形下，這由自變數找因變數的法則可以用方程式來表示，比如自變數x和因變數y間有y2x4x（1-1）的關聯存在，則這關聯就是一個函數。
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