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圖解系列
理工
-
理科類
-
數學
圖解向量與解析幾何
作 者:
吳作樂
、
吳秉翰
出版社別:
五南
書 系:
圖解系列
出版日期:2021/02/01(1版2刷)
ISBN:978-957-11-9418-9
書 號:5Q39
頁 數:248
開 數:20K
定 價:300元
優惠價格:237元
滿額優惠折扣
11/11-1/10 五南全書系書展!全站滿599再95折
★解決向量在老師與學生內心的疙瘩。 ★難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎? ★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思? 本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念,令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何,由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學?本書詳細說明數學及物理的向量歷史,認知到解析幾何根本不需要「向量」概念,就能夠推廣,只是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。 作者之一多年來在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。兩位作者都認為死背定義的數學學習,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有困惑,心理不再存在疙瘩,並了解在自然科學中,數學具有不可理喻的有效性。
吳作樂 學歷: 國立台灣大學數學系學士 美國哥倫比亞大學數理統計博士 經歷: 長榮大學資訊管理系教授 數位內容創作學程主任 國家太空中心主任 國際宇宙航行學院 (International Academy of Astronautics) 院士 宏遠育成科技股份有限公司總經理 工研院電通所副所長 美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager) 美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員 吳秉翰 學歷: 輔仁大學應用數學學士
前言
第1章 疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑
1-2 數學與物理的關係
1-3 數學的歷史
1-4 太多新的定義
1-5 向量的教學順序令人困惑
第2章 傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標
2-2 平面座標系的直線方程式(1):由來
2-3 平面座標系的直線方程式(2):斜截式
2-4 平面座標系的直線方程式(3):點斜式、截距式
2-5 平面座標系的直線方程式(4):兩點式
2-6 平面座標系的直線方程式(5):參數式
2-7 空間座標系的平面方程式(1):由來
2-8 空間座標系的平面方程式(2):表示方法
2-9 空間座標系的直線方程式
2-10 平面座標系的兩直線夾角
2-11 空間座標系的兩直線夾角
2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題
2-13 平面座標系的點到線的距離(1):畢氏定理
2-14 平面座標系的點到線的距離(2):三角函數
2-15 平面座標系的點到線的距離(3):參數式
2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離
2-17 空間座標系的點到面的距離
2-18 各個平行情況的距離
2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離
2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式
2-21 空間座標系的兩平面夾角
2-22 整合此章的數學式
2-23 參數式的起源:拋物線
第3章 行列式
3-1 解聯立方程式:兩變數
3-2 解聯立方程組:三變數
3-3 行列式的運算(1):二階
3-4 行列式的運算(2):三階
3-5 克拉碼行列式求平面方程式
3-6 二階行列式與面積關係
3-7 三階行列式與體積關係
3-8 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(1)
3-9 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(2)
第4章 高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1):兩變數
4-2 加減消去法與列運算(2):三變數
4-3 高斯列運算求平面方程式
第5章 向量在物理的意義
5-1 向量在物理的意義
5-2 功與內積
5-3 力矩與外積
5-4 向量的定義
5-5 向量的基礎計算(1)
5-6 向量的基礎計算(2)
5-7 向量的基礎計算(3)
5-8 正射影與正射影長
5-9 向量與藝術:投影幾何
5-10 向量數學式總結
第6章 向量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積
6-2 向量與平面上的直線方程式關係
6-3 數學的平面方程式係數與外積(1):解析幾何方法
6-4 數學的平面方程式係數與外積(2):法向量與力矩
6-5 數學的平面方程式係數與外積(3):法向量怎麼求
6-6 利用向量求平面上點到線的距離
6-7 利用向量求空間中點到平面的距離
6-8 利用向量表示傾斜程度(斜率)
6-9 向量與柯西不等式(1):如何證明
6-10 向量與柯西不等式(2):柯西不等式與配方法的關係
6-11 向量與柯西不等式(3):如何記憶
6-12 利用向量與二階行列式,求平面座標系的三角形面積
6-13 利用向量與三階行列式,求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積
6-14 利用向量與二階行列式,求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積
6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」
6-16 三角錐體積與行列式(1):拉格朗日
6-17 三角椎體積與行列式(2):向量方法
6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積
6-19 空間座標系的點到線的距離(1)
6-20 空間座標系的點到線的距離(2)
6-21 歪斜線的向量討論(1)
6-22 歪斜線的向量討論(2)
6-23 三垂線定理的討論
6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式
6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理
6-26 計算三角形重心
6-27 計算三角形內心(1):向量方法
6-28 計算三角形內心(2):傳統解析幾何
6-29 外心、垂心的向量性質
6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法
6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面
6-32 三度空間的角平分線
第7章 向量從物理到數學,再回到物理
7-1 物理數學家與數學物理家
7-2 向量對數學的意義
7-3 數學與物理互相幫助
第8章 矩陣
8.1 動畫的由來(1)
8-2 動畫的由來(2)
8-3 動畫的由來(3)
8.4 矩陣的由來
8-5 矩陣的運算(1):二階矩陣PART1
8-6 矩陣的運算(2):二階矩陣PART2
8-7 矩陣的運算(3):二階矩陣PART3
8-8 矩陣的運算(4):三階矩陣
8-9 矩陣的運算(5):二階矩陣的反矩陣的由來
8-10 矩陣的運算(6):三階矩陣的反矩陣的由來與記法
8-11 矩陣的應用(1):轉移矩陣的概念
8-12 矩陣的應用(2):如何求轉移矩陣
8-13 矩陣的應用(3):血型的轉移矩陣
第9章 總結
9-1 相關歷史
9-2 結論
附錄
附錄1.為什麼負負得正呢?
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣?
附錄3.配方法與雙重配方法
附錄4.相關聯結
1-2 數學與物理的關係 數學與物理的關係,這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多,感到有疑問,為什麼要練習那麼大量的幾何證明?幾何證明固然可以學習邏輯,但基礎概念理解後其他僅是練習,為什麼有那麼多題目?因為中世紀的僧侶,因戰爭避世,並肩負傳承知識,認為「上帝就是幾何學家(God is Geometer)」、「宇宙的建築師(Architect of the Universe)」,所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明;同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎,故大量練習幾何證明(歐式幾何),更成為近代教科書的內容。 僧侶為什麼要研究數學?因為在西方的文化,理性占文化很大一部分,並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學家—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則,有些已經理解成為了經驗,有些是由這些組合成為新的經驗,但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為了解神創造世界的原理。 為什麼他們從數學切入,而不是從其他科目切入,如:物理、化學?因為科目本質性的不同,可以從幾個角度來討論原因。 1.出錯修正的機率 數學是零修正,唯一需要修正的情形,僅是取有效位數產生的誤差,如:圓周率,微積分(200年來都沒變,且不需要改變)。 物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。 2.研究的方式 數學是演繹邏輯的學問。 物理、化學是經驗結果論(歸納邏輯)的科學,科技進步就會更改,如:拋物線的軌跡、四大元素到現在週期表。 3.由真實經驗假設最基礎的情形 數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。 如:1 + 1 = 2。再以此基礎來組合定義新的數學式,且不需質疑與驗證。 並且數學進步可視作由小元件到大物品的組合。 物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形,做為元件,因科技進步,觀察到在更大的情形不符合,就必須修正。如:牛頓力學與愛因斯坦的相對論,或是要說明此方程式對於此情形是正確的,須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組合,但須驗證,因為不清楚此半成品的理論是否正確,可能會導致大物品的實驗產生錯誤;以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如:四大元素→週期表→電子中子→夸克→超弦理論。 4.數學家與物理、化學家目標不同: 數學家組合出新數學式後,並不一定知道可以用在哪裡,只知道演繹出來的結果是正確的,並認為這是具藝術美感,不知道也不在乎有何意義,可能未來有一天就有用了。 例子1:數論學家哈代明確指出,他的數論研究就是一堆與現實沒關係卻正確而美麗的數學,但在50年後卻被大量用在密碼學上。 例子2:虛數 的意義是什麼?一開始源自卡當的三次方程式求解。但在實際生活應用上不知能做什麼,但在19世紀發展成複變函數理論,成為近代通訊、與物理的基礎。 例子3:複數的奇異點討論,是以純數學的角度在討論,完全不知道與大自然有何關連性,但是近代物理學家發現黑洞的概念完全吻合奇異點的數學描述。 物理學家與數學家相當不同,大部分是先有目標,再尋找適當的數學式,並驗證,但有可能不符合而需要修正,有些時候也會與數學家合作找出適當的數學式。 當然在早期的科學,也是有著研究出不知能做什麼用的情形,如:法拉第對於電磁學的研究,做出了馬達,見圖1,他展示給國王看。國王問說能做什麼用?法拉第回:不知道,但總有一天能從此物品延伸的器械上抽取稅賦。之後果然可以抽取稅賦。 結論:討論數學對於研究真理是具有成效的。也要明白數學不是科學,而是幫助描述科學的語言。如果我們對數學學習感覺不舒服、不直覺,這是不對的。數學建構在邏輯之上,不熟悉要多練習、不理解要多思考。但總不會突兀的多了一個新的方法,令人不舒服、不直覺。數學的產生雖不像物理、化學全因現實需要而產生關係式,但也是因計算需要而產生關係式。這可以引用數學家龐加萊的話「如果我們想要預見數學的將來,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」 同理如果對於學習不舒服、不直覺,將會干擾學習的熱忱,並且對數學家產生神化的感覺。同時臺灣的數學教育大多利用背公式而不去理解,將會降低創意與思考,變相來說就是影響了數學未來的發展。所以可以把數學家龐加萊這段話延伸到另一個層面,「如果我們想要學習數學的保持直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」 補充1:戰爭避世產生一堆幾何證明,好比黑死病時期部分人躲在城堡中寫吸血鬼、狼人小說。 補充2:複數的奇異點討論,近代物理學家發現吻合黑洞的概念。因此近代物理學家,開始思考是否有更多的純數學理論可以吻合大自然。而實際上的情形的確如此,如:超弦理論。為什麼可以這樣作?因為數學的演繹邏輯不會有錯誤,而物理的歸納邏輯有時會出現問題。這樣的情況再次說明:「在自然科學中,數學不可理喻的有效性。」 1-3 數學的歷史 在學習數學過程中,從1、2、3、……的整數,到分數,到小數,到未知數,到負數,也到了虛數與複數;圖形觀念也從規則的幾何形狀,到不規則的拓樸等;同時也從二度空間走向三度,甚至是多維度,及無窮維度空間的討論。 有趣的是,數學歷史可以自成一個脈絡,不用夾雜其他的科目,順利的延伸。但在臺灣的數學教育有關於行列式、向量、矩陣,卻必須加入物理概念,相當混亂。作者猜測是為了幫助簡化學習而設計的課程,但卻會令人感覺相當突兀,太多的名詞,與突如其來的定義。而這些問題從歷史上來看就一目了然,由原本的方法太過麻煩並且無法推廣,不斷的更新與修正。 首先從傳統幾何意義與座標系開始,也就是解析幾何,其實已經可以解決當時很多問題。但當數學家將代數問題慢慢推廣後發現原本的方法不夠使用,首先出現了行列式(這與現在課本順序不同),接著出現矩陣的概念;同時物理學家為了解決所遇到的數學式問題,將行列式拆開成一行一行來研究,發明出向量的概念。 而後數學家也將物理學家向量的概念繼續發展,使得更加完善。可以發現數學的起源,也需要其他科目的靈感來加以茁壯。最後這三個概念(行列式、矩陣、向量)內容的相互討論,就是現在的高中數學內容。 向量與矩陣是現代數學的一個分支,也是電腦動畫的根本。需要了解到,數學的知識必須走在科技前面,即便是數學知識在當下不知能否用到,但在未來的某一天它可能成為科技的重要基礎。參考圖1,了解歷史順序。
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