素養導向:數學教學實務2
作  者╱
謝如山
出版社別╱
五南
出版日期╱
2023/10/01   (1版 1刷)
  
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I  S  B  N ╱
978-626-7141-46-5
書  號╱
4I2B
頁  數╱
308
開  數╱
20K
定  價╱
480



教師應協助學生建立學習的自信、喜歡上數學。讓學生找出答案的方法,遠比給學生答案更重要。

本書可分六個章節,分別為〈質數、因數與倍數〉、〈比與比例〉、〈分數〉、〈小數〉、〈統計與機率〉,最後為〈幾何與空間〉的教學實務內容。共有139個教學活動,分別為〈質數、因數與倍數〉有15個教學活動,〈比與比例〉有13個教學活動,〈分數〉有18個教學活動,〈小數〉有33個教學活動,〈統計與機率〉有31個教學活動,〈幾何與空間〉有29個教學活動,期能有助於在數學教學的運用。
※書籍推薦人
聯合推薦
鐘世凱 國立臺灣藝術大學校長
張芳全 國立臺北教育大學教育經營與管理系系主任
※推薦文
欣聞如山教授《素養導向2》專書出版,還記得今年3月才拿到《素養導向1》的贈書,事隔未久,又有一本專書,能為之序,榮幸之至。

如山教授與我同年進入本校服務,同梯的情誼至深、至切。如山教授於教學、研究、服務均有卓著貢獻,為本校優越的學術人才。

於教學領域,如山教授的專長領域在數學,數學是科學之母,對於本校學生的學習,能應用藝術與數學的結合。再者,數學可培養學生的邏輯思維,理性思考,為學習的基礎能力。最後,如山教授長期要求本校師培學生協助鄰近國小學生數學課程,已逾20年,其深知灼見在能協助國小學生啟發數學興趣,同時亦強化本校學生的數學能力,其仁義之舉,產生了多贏的成效。近期又因開設多元課程,幾何構圖科技,知曉近期研究專注於幾何科技與藝術的結合,AI為目前發展的趨勢,期能將幾何科技應用於中小學領域,以嘉惠更多學子。

於研究領域,亦知如山教授發展探究數學課程,與國小教師合作,於新北市頂溪國小、宜蘭縣人文國小與桃園市林森國小,歷經十多年的實務研究。亦曾主持國科會計畫、教育部計畫、新北教育局計畫、桃園教育局計畫等,出版專書9本,期刊論文近30餘篇,於專業領域有顯著的貢獻。

於行政領域,如山教授擔任三任師培中心主任,第一任期間承辦高中藝術生活科,辦理藝術生活學科專門課程,本校為全國第一所藝術生活科認證學校,於暑假辦理藝術生活學分班,已培育超過2,000多名藝術生活科教師;並於任內創立藝術與人文教學研究所,擔任第一任所長。於第二任期間,任內負責教育部評鑑,中學與小學學程均獲一等殊榮。於第三任主任期間,承辦澳門藝術專班,成功招生,整合全校資源,如表演學院、設計學院、美術學院師資,為學校開拓新的教學與學習領域,並與澳門理工學院建立穩固的交流情誼。

於服務領域,如山教授於主任任內開始辦理史懷哲服務計畫,與師培教授一同於馬祖、南投、新竹,以及新北市偏遠地區,如東北角、西北角、三峽等區,帶領近90位師培學生進行藝術服務,辦理時間近十年。並創辦師資培育中心新生訓練、結業典禮、外埠參觀、正式教師實務分享會議等制度,而這些制度目前仍持續辦理中。

最後本書的成果源自於如山教授長期協助鄰近國小學生,及與國小教師研究發展課程的結晶,期待我的摯友,能持續他的專業,點亮更多的光輝。


國立臺灣藝術大學校長

鐘世凱

112.8.1



得知如山教授在數學教育、學校行政、評量與統計等領域學有專精,非常高興能為之序。

本書撰稿之初,有幸能先窺探《素養導向1》與《素養導向2》的原貌,全書的範圍涉略甚廣,從《素養導向1》的數學教師專業、數學教學趨勢、數數、位值、整數的加法、減法、乘法、除法,到《素養導向2》的因數與倍數、比與比值、分數、小數、統計與機率到幾何與空間概念等。應涵蓋了國小重要的數學概念,甚至有些教學內容已到國中的程度。

與如山教授有更多的接觸,是於本校所舉辦東亞地區校長學術研討會,於數次所發表的學術論文均與校長學高度相關,如校長的道德領導、願景領導及課程與教學領導。於此,如山教授所進行的研究取向,並非只重在數學教育專業領域,於學校行政領域,亦多有琢磨。

同時,在評量方面,對於真實評量於數學概念的應用,也有一些論述,如應用真實評量於數感概念,應用真實評量於時間概念等文,可看到他對於評量的專業。

再者,如山教授的統計專業,不但對於線性迴歸、變異數分析、結構方程模式有所涉略,亦專精於社會學統計領域的統計模式,如latent class model、loglinear related models、the RC association models等。期望能在未來看到他有相關統計專書的問世。

最後,我與如山教授一見如故,從他的待人處事,看到很多與我相似的地方。從他的身上看到誠懇與勤勉,在學術領域一直努力不懈,是值得一起相互鼓勵切磋的好朋友。我相信他能將最真實、有效益的專業傳遞給所需要的人,期待這本書能嘉惠更多的教育夥伴。


國立臺北教育大學教育經營與管理系系主任

張芳全

112.8.1

謝如山
國立臺灣藝術大學師資培育中心教授

學歷
1997/2-1999/5
伊利諾大學香檳分校課程與教學系數學教育組哲學博士(Doctor of Philosophy)
1996/7-1997/2
伊利諾大學香檳分校教育心理學系教育統計與測驗組博士候選人
1994/2-1996/6
伊利諾大學香檳分校教育心理學系教育統計與測驗組科學碩士(Master of Science)
1988/9-1993/6   
國立臺北教育大學初等教育學系教育行政組教育學士(Bachelor of Education)

教授課程
普通數學、數學科教材教法、教育議題專題

推薦序 鐘世凱校長
推薦序 張芳全主任
自序

第0章 質數、因數與倍數的教學實務
第1章 比與比例的教學實務
第2章 分數的教學實務
第3章 小數的教學實務
第4章 統計與機率的教學實務
第5章 幾何與空間的教學實務
參考文獻

公民美德和公共
學校教育:為民
主培養的公民
教育領導新視角
:微觀、中觀與
鉅觀
教育哲理:質疑
與思辨
國小自然科學教
材教法(素養導
向系列叢書)
國小國語文教材
教法(素養導向
系列叢書)
國小數學教材教
法(素養導向系
列叢書)




第0章

質數、因數與倍數的教學實務

有鑑於臺灣108 年提出十二年國民基本教育提升數學素養的重要(教育部,2018),本章整理質數、因數與倍數的課程標準,以及相關的文獻與相對應的教學活動。

一、 課程標準:NCTM(2000)與教育部(2018)的比較
於6-8 美國課程標準,數與計算向度的指標為使用因數、倍數、質因數與質數互質的性質來解題,教學的年級為六至八年級。而臺灣的課程標準有5 個指標,分別於五至七年級對因數與倍數的內容設計。如:
N-5-3:學生需理解因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數的意義,即教師需協助學生理解因數與倍數的使用時間與需求。學生於五年級還不需要使用短除法。
N-6-1:明確規範學生需對20 以內的質數和質因數進行分解,須使用短除法做質因數分解。
之後於N-6-2,學生要能找到最大公因數與最小公倍數,使用質因數分解法與短除法來解題。
對於N-7-1 學生要能找到100 以內的質數,之後學生需應用N-7-2 的質因數分解的標準分解式,解決因數與倍數的問題。從臺灣的課程標準來看,學習因數與倍數的關鍵概念,在於質因數分解。能快速解決問題的方法,則為短除法與質因數的標準分解式。而標準分解式是在七年級。

二、質數、因數與倍數的學習
因數與倍數的概念,最有名的故事就是「韓信點兵」了,以下摘錄之。
「卿部下有多少兵卒?」漢皇帝劉邦單刀直入地問道。
「敬稟陞下,兵不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。」楚王韓信答道。
大漢皇帝劉邦酒醒了幾分,本來按照張良的計畫,這次皇帝巡狩雲夢大澤,是要趁機捉拿韓信。如今韓信奉召在座,只要一聲令下,間壁伏下的甲士便可動手了。可是,問題中的問題是:韓信手下有多少兵卒?會不會引起大亂?陳平使盡神機也查不明白兵數。動手?不動手?真是猶豫難決的事。現在乘著酒酣耳熱,單刀直入地問了。結果是什麼「三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二」?多少兵?劉邦帶著詢問的臉色,望著張良。
張良正在心中緊張地搬運「籌策」計算,滿臉迷惑。當他接觸到皇帝的目光,立刻低聲而惶恐地回答:「兵數無法算,不可數!」
從上述的問題,到底有多少的數量符合:三個三個一數剩下二個,五個五個一數剩下三個,七個七個一數剩下二個呢?如果先從三個與七個一數,均剩下二個來看,三與七的公倍數為多少,為21,均剩下二個,為23,若是除以五,剛好剩下三個。所以最小符合數量的是23。
那下一個符合數量的數字是多少呢?可從3、7 的倍數來看,21、42、63⋯⋯,從這些數量來推,即可找出符合條件的數量。因數與倍數概念,在生活的使用相當多元,於108 年課綱(教育部,2018),五年級學童要對因數、倍數、公因數與公倍數概念能理解與應用;六年級學童要對最小公倍數與最大公因數、質因數分解法與短除法,能理解兩數互質的概念。並能運用分數的約分與擴分。
從因數概念來看,因數是討論一個整體量,可以被哪些整數整除,沒有剩下的意義。例如:探討12 的因數概念,可以發現12 可以被1 整除、被2 整除、被3 整除、被4 整除、被6 整除與被12 整除。所以,1、2、3、4、6 與12 都可被視為12 的因數。
倍數概念是討論一個整體量,可以經由整數的乘法倍數運算,產生整體量的倍數。例如:探討12 的倍數時,以「12」為整體量的倍數可以衍生12、24⋯⋯,這些以「12」為整體量的整數乘積所生成的正整數,稱為「12」的倍數。

( 一 ) 質數、因數與倍數的定義
依據教育部(1993)數學課程綱要對於因數與倍數概念的定義為:「一不為零的整數甲若能整除另一整數乙,甲稱為乙的因數,乙稱為甲的倍數。」之後又規範了於國小階段只學習正因數、正倍數,於國中階段才引進負因數與負倍數的學習。之後教育部(2003)的數學綱要定義為:「一正整數a 若能整除另一正整數b,a 稱為b 的因數,b 稱為a 的倍數。」
謝堅(1995)則由除法觀點來討論因數的意義,即以總量為起點,找出總量可能組成的單位量有哪些。例如12,其因數有1、2、3、4、6、12,即可看出12 可被切分為:12 個1、6 個2、3 個4、4 個3、2 個6、1個12。
相對於因數,倍數的名詞對於學生而言較為熟悉。於學童開始接觸因數概念之前,他們在小學二年級時,即學習過「幾的幾倍」的概念,因此倍數概念較因數而言更為容易。
從除法運算,學童若在除法的運算有困難,則在尋找因數與倍數概念也會有學習問題(陳博文,1996)。這個結果對於尋找因數的過程,在於倍數除以因數,再經整除的過程(Gray & Tall, 1993)。朱建正(1997)發現此種概念含有隱藏的知識(tacit knowledge),但在教學中未被發現。要解釋這樣的關係,如用18 ÷ 3 = 6,學童所學到的6 是商數,3 是除數;然而,在因數與倍數概念,3 與6 都是18 的因數。於三年級階段,學生並不會接觸。
黃國勳與劉祥通(2003)認為因數與倍數的概念,是對於一個整體量小於與大於的關係,如12 的因數是3 和4,而12 的倍數是24 與36 。故從數字12 的因數與倍數關係來看,數字關係是一體兩面的數學概念。以因數的概念階層來看,因數是由整數乘除法等元素構成,這些元素為「子概念」或「下屬概念」(sub-concept)。
相對的,因數概念則為其子概念的「上位概念」(superconcept)。概念與概念之間具有階層關係,依序分為(1) 理解因數概念,學童才能列出一數的所有因數,由公因數到最大公因數;(2) 理解倍數概念,學童才能列出數的倍數,由公倍數到最小公倍數;(3) 從乘除運算、分數表徵、比例以及數列規律等,找出因倍數關係;(4) 將因倍數觀念應用於生活問題,找出解決問題的策略,如有些學者發展因數與倍數的情境教學,以提升學生對因數與倍數的學習(謝如山與潘鳳琴,2012)。

( 二 ) 因數與倍數的學習困難
學童理解因數概念,一直是教師困擾的單元。相關研究(林珮如,2002;陳標松,2003;蕭金土,1995)指出:學童在學習因數時存有些許迷思概念,在於無法理解因數概念,產生學習上的瓶頸。
黃國勳與劉祥通(2003)從教學實務和診斷學童因數迷思概念的實例,發現五年級學童學習因數時,可能在認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解和過程概念(pro-cept)等五個層面,產生學習困難。從認知運思能力、語意理解和生活經驗三個層面,因數概念是由整除定義而來,為二層次的抽象概念,定義因數時「被誰整除」或「整除誰」的說法,不僅產生理解的困擾,於判斷因倍數關係也易產生混淆。
因此本章於後面的活動設計從發現質數、因數到倍數,再使用因數與倍數的教具古氏數棒操作,到撲克牌遊戲,以建立學生的因數與倍數概念,最後再以韓信點兵的故事,協助學生應用因數與倍數概念。


(節錄)