什麼是數學?
作  者╱
吳秉翰、吳作樂
出版社別╱
五南
書  系╱
博雅科普
出版日期╱
2021/02/04   (1版 2刷)
  
即日起五南舊官網僅提供書籍查詢,如欲購書,請至五南新官網 https://www.wunan.com.tw/
I  S  B  N ╱
978-957-763-633-1
書  號╱
RE47
頁  數╱
584
開  數╱
25K
定  價╱
600 (特價 474)



先學唱歌再看譜,有興趣再理解
以真實歷史與應用介紹數學,補起300多個數學疙瘩
讓一般人也能不怕數學、懂數學

波提思三大核心價值
1.學數學是先學唱歌再看譜,可以不懂數學,但不需要怕數學
2.數學不會沒關係,但需要會基礎統計與邏輯
3.邏輯是民主的基石,邏輯非數學,不必借助數學就能學會邏輯

本書目的
1.補強現今數學教材漏洞,用可信的事實或圖型作推導、歸納,用有意義的標題而非枯燥的假設題目,用基礎的定理(數學原理)來作證明,而非踢皮球的說是公式、或說以後會教。
2.合理順暢的學習,降低討厭數學的可能性。以數學發展為主,並依歷史發展的路線說明,而非切得支離破碎的單元。認識數學式的定義、公理,及如何推導到定理。
3.認識數學的藝術,引發興趣。如:藝術、曲線、圖形的方式。
4.認識數學的應用,引發興趣。說明各單元的一般生活應用真的很少,但會說明各單元應用在何處。
5.讓學生明白即便懂數學不一定考試拿高分,拿高分也不一定懂數學,但不論懂不懂都不用怕數學,如同不喜歡讀英文也不用怕英文。

吳作樂
學歷:
國立台灣大學數學系學士
美國哥倫比亞大學數理統計博士
經歷:
長榮大學資訊管理系教授   
數位內容創作學程主任
國家太空中心主任   
國際宇宙航行學院 (International Academy of astronautics) 院士
宏遠育成科技股份有限公司總經理
工研院電通所副所長
美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員

吳秉翰
學歷:
輔仁大學應用數學學士

作者序一/吳秉翰
作者序二/吳作樂
前言
導讀
CH 1 認識數系
1-1正整數及基礎運算
1-2有理數(分數)及基礎運算
1-3小數、負數與0及基礎運算
1-4無理數及基礎運算
1-5實數、虛數與複數
1-6實數的性質
CH 2 進階運算規則
2-1絕對值
2-2指數
2-3對數
2-4第三個特別的無理數:歐拉數e
CH 3 代 數
3-1未知數與等量公理、及移項法則
3-2平面座標系、聯立方程式與直線方程式
3-3一元二次方程式、參數式、拋物線、與配方法
3-4數列與級數、一般式與遞迴式
CH 4 幾 何
傳統幾何
4-1基礎幾何概念
4-2幾何證明
4-3圓周率的祕密、第二個神奇的無理數π
傳統幾何到解析幾何
4-4三角函數與圓
4-5圓錐曲線與二次方程式
CH 5 複 數
5-1複數的運算與複數平面
5-2隸美弗定理與複數的極式
5-3歐拉的寶石:歐拉方程式
5-4淺談泰勒級數與傅立葉級數
CH 6 函數
6-1函數在生活上應用
6-2函數是什麼
CH 7 數學與藝術
7-1第一個神奇的無理數:黃金比例Φ
7-2大自然的黃金比例螺線
7-3碎形藝術與大自然及碎型典故
7-4極座標作圖
7-5代數曲線的藝術
7-6投影幾何
CH 8 結論—數學不好,不是你的錯
8-1數學恐懼症
8-2數學教育該怎麼做?先學唱歌再看譜
8-3結論

50則非知不可
的數學概念
物理奇才奇事:
智慧巨光照亮自
然奧秘
爺爺的證明題:
上帝存在嗎?
你沒看過的數學
創意不足?用T
RIZ40則發
明原理幫您解決

邏輯學原來這麼
有趣:顛覆傳統
的18堂邏輯課




1
認識數系
在求學的過程中,可看到數字的變化,也就是從真實生活中看的見且簡單實用的數字(如:整數、分數),慢慢走向真實生活看不到且複雜抽象的情況(如:虛數),見圖1-1。
為什麼會愈變愈複雜?都是應用上的需要而創造新的數字規則。初期的真實世界因為計算數量上的需求,而產生了整數(正整數)、分數(有理數);在討論面積的需求上衍生出無理數的概念,上述都還稱得上看的到、摸的到的內容。後期為了方便性、生活需求、數學家希望數學的合理性、一致性,進行一定程度將數字抽象化。如:為了討論負債的問題,產生了負數與0的內容;為了讓數字的十進位可以更完美,產生了小數的內容;為了讓方程式的解(根)更合理,進而創造出虛數、複數的概念。
從古至今基礎數系的內容就僅僅於此,本章將介紹各數系的內容,而介紹的順序並不會完全以歷史軌跡走,而是以學習順暢度,見圖1-2。並參考圖1-3了解各數系的關係。

1-1正整數及基礎運算
1-1-1自然數(N、正整數、Natural number)
如果沒有數字時,要計算物品的數量會相當不便,比如說:一個原始人要表達他有7隻羊,但他沒有數字的概念,只能數羊、羊、羊、羊、……,一邊指一邊念,讓別人認知他念幾次就是幾隻羊;進步一點,可以伸出7根手指頭,再對別人說他有多少隻羊,用比的給別人看他有多少,而當手指不夠用時,自然就是說他有很多羊。最後為了計數的需求創造了數字、及各種進位法。
人們需要整數來面對的自然界的數量問題,故又被稱為是自然數,也難怪數學家克朗內克說「自然數是上帝創造的數字,而其他的數字則是人為。」
※ 備註:克朗內克(Leopold Kronecker)德國數學家,1823-1891。
★常見問題:一個蘋果加上一個水梨的數量為何?
作者的教學經驗,小學的學生會把一個蘋果與一個水梨的數量可以總合感到疑惑。因為認為兩種水果數量是不可混合的,加起來仍是一個蘋果與一個水梨。因為學生沒有把蘋果視為1個水果、水梨視為1個水果,加總起來是1個水果 + 1個水果= 2個水果。抽象性要跨出第一步是不容易的,要反覆以正確的語言來加以認識,而這樣的問題在國中的未知數符號化也是同樣的道理。使用數字的時候,當我們可以把一個蘋果與一個水梨的數量都理解為都是1的時候,也就代表對數字抽象性邁進了第一步。
※ 備註:整數一開始沒有正負數之分,西元9世紀後在印度才開始有使用負數。
1-1-2各種數字符號與阿拉伯數字
世界各地的文明各自發展出自己的數字符號與進位制,在此介紹幾個文明的數字符號與進位制作為參考,埃及見圖1-4、1-5,巴比倫見圖1-6,馬雅見圖1-7,中國見圖1-8,羅馬1到10分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ。但到近代我們最後整合為常用且方便的進位制與數字符號,如:阿拉伯數字、十進位、六十進位。
.世界通用的阿拉伯數字
現在使用的阿拉伯數字,並非阿拉伯人發明,而是印度人流傳推廣。而印度人又是學習腓尼基商人的計算方法,這套數字符號具有方便的符號與計算方式。隨後阿拉伯人經由經商將這套方便的數字,流傳到歐洲再傳到世界各地。阿拉伯數字的原始意義是有幾個角表示數字幾,看完原始寫法就能明白,見圖1-9。
1-1-3數學運算符號的由來
認識整數的加減乘除前,先認識現在的數學運算符號。歷史上出現過各種的數學運算符號,但最終整合成我們所熟悉的加(+)、減(–)、乘(×)、除(÷)。有趣的是符號創造依序分別是:減(–)、加(+)、乘(×)、除(÷)。
.減號「–」、加號「+」的記號
15世紀德國數學家魏德曼創立加號「+」、減號「–」。可想作十字是直線加橫線,表示加起來的意思;十字拿走直線部分,剩下橫線部分,表示減少的意思。
另一種說法:原是船員使用桶中的水時,為表示當天取用的分量而以橫線做標記,代表減少的水量。後來,減法便以「–」作為減的符號。船員重新加水到水桶,會先在原來的「–」記號上加上一條直線,再繼續刻下「–」號直到木桶不能用,所以加法便以「+」作為加的符號,減法便以「–」作為減的符號,見圖1-10。
.乘號「×」、「·」、「不寫」
17世紀英國數學家歐德萊,因乘法與加法有關係,故將3 + 3 + 3 + 3定為3 × 4,連續加法加幾次就是乘幾,幫助書寫,定義加號斜放表示相乘。後來德國數學家萊布尼茲(Leibniz)認為「×」容易與字母「X」混淆,主張用「·」。但「·」又有可能與小數點搞混,故也開始「不寫」,如:x × y = x·y = xy。故現在乘號有三種方式「×」、「·」、「不寫」。
乘號之所以會有這麼多的符號是因,「×」主要用在數字相乘、少用「·」怕會跟小數點搞混;而「·」主要用在符號相乘、少用「×」,怕會跟字母X搞混,同時我們可以發現在電腦鍵數字盤上的乘號是「*」或「*」,這邊是避免與X搞混。
★常見問題:xy與yx被認為不一樣
初學者在學習代數及省略乘號時,會認為xy與yx不一樣,原因可能為下述,第一個是還沒有理解到未知數相乘時乘號可以不寫,第二個是將未知數當作是位數數值,也就是xy與yx視為49與94的關係,第三個是將xy與yx視為不同的內容,如:on(在什麼之上)與no(不),而這個問題需要多強調符號相乘概念,xy與yx的確看起來不同,但等號是表示運算後數值一樣。
.除號「÷」、「/」
17世紀瑞士數學家雷恩創立,其中一種說法認為分數形式是「」,該記號必須代表有分數的感覺,所以除號「÷」,上方和下方的「·」分別代表分子和分母。
另一種說法則認為 ,除法以分數表示時,橫線上下的「·」是用來與「–」區分的記號。萊布尼茲主張用「:」作除號,與當時流行的比號一致。現在有些國家的除號和比號都用「:」表示。而「/」對於印刷版面有著方便的應用,不用多做版塊,直接用日期的斜線版塊,也普遍被接受這是除號。同時也有人說,除法是連續減法的應用,所以除法也類似乘法一般,斜放變除。
※ 備註:現在已經不用「:」作除號,但常見於比例尺的使用。
★常見問題:比例的運算中,什麼是內×內=外×外
在台灣的小學,有關比例的運算,會用到一個口訣:內×內=外×外,這是什麼原理呢?例如,3:5 =□:25,而5 × □= 3 × 25,所以5 × □= 75,故□= 15。基本上只要把比(:)的符號,寫成除號(÷),就能知道原理,3:5 =□:25改寫為3 ÷ 5 =□÷ 25,利用移項法則故3 ÷ 5 =□÷ 25可得到3 × 25 = 5 ×□,而75 =□× 5,所以75 ÷ 5 =□,故□= 15。因此就不用多死背一個口訣(或稱公式),在此要強調數學不該無端創造公式,無助學習。
.等號「=」
西元1540年的英國學者列考爾德使用「=」,用兩條平行等長的直線,來代表兩數相等,其意義為上面與下面的直線距離相同,故左邊與右邊的開口大小一樣。
.大於「>」、小於「<」
西元1631年英國代數學家赫銳奧特開始使用大於「>」、小於「<」,原理如同等號,兩條交叉的線,愈靠近交叉點,兩條線間的距離愈來愈小。所以「>」是左邊開口大,而數學的閱讀是由左向右,故稱為大於,如5 > 3,念作5大於3;反過來說「<」就是小於。
.中括弧「[   ]」和大括弧「{   }」
16世紀英國數學家魏治德開始使用中括弧與大括弧,為了區別小括弧的重複使用而混亂的情形。
數學運算符號的產生,一開始各國有各國的習慣符號,但最後為了方便交流,變成全世界通用的符號,也就意味著數學語言是全世界的共通語言。萊布尼茲知道數學語言是全世界語言,想創造一個全世界通用的溝通語言,不過還是失敗了。但他還是開創了現在全世界邏輯學常用的符號及觀念。