21 機率論誕生的故事(上)
小朋友，當你聽到天氣預報說：「明天下雨機率90%。」這表示下雨的可能性很高，若不想淋成落湯雞的話，相信你一定會帶雨具出門。當你聽到某一玩具店將舉辦摸彩活動，活動獎品正是你喜愛的玩具，且獲獎機率很高，相信你一定不會錯過。
機率在我們生活中隨處可見，亦常是我們要作某些選擇或決策時的參考依據。但你知道最早「機率論」這個數學的分支是如何誕生的嗎？它不是為了解決農夫田地劃分的問題，也不是為了解決買賣交易問題，而是為了幫賭徒解決一個賭金分配的問題。這個賭徒可不是一般的賭徒，是個有錢的貴族，有錢有人脈，才能請到優秀的數學家幫他想答案。
故事發生在17世紀中葉，當時的歐洲貴族間盛行賭博，擲骰子是他們常用的一種賭博方式。一天，一位法國貴族梅雷與另一位對賭，他們各自拿出32枚金幣當賭注，也分別選了「6」及「4」代表自己，接著輪流擲一顆骰子。如果梅雷擲出「6」可得1分，另一位則是擲出「4」得1分，誰最先得到10分，誰就可獲得所有的賭金。
賭博進行一段時間後，梅雷突然接到通知，需要立即進宮陪同國王接見外賓，賭局被
迫停止。此時，梅雷已得8分，另一位得7分，當要處理賭金問題時，有人說一人一半，梅雷不同意，梅雷覺得他快贏了，應該要全拿；另一位也不同意，覺得自己只落後一次，若繼續，可能會反敗為勝。小朋友，如果你在現場，你會給什麼建議？到底該如何分配賭金才公平呢？
後來梅雷將此問題請教他的數學家朋友巴斯卡（Blaise Pascal，西元1623-1662
年），巴斯卡對此問題非常有興趣，立即展開研究。同時也寫信給住在法國南部的另
一位數學家費馬（Pierre de Fermat，西元1601-1665年），以通信的方式討論此問
題。最後得到的結論是梅雷與賭友贏得此賭局的機率比為11：5，所以應該按照此比
例來分配賭金。（兩位數學家詳細的解決方法將在「機率論誕生的故事（下）」中
介紹）
在這個事件發生之後，人們公認這兩位數學家為「機率論」的創始人，也將兩位開始通信討論此問題的那天（西元1654年7月29日），定為機率論的生日。
小朋友，聽了以上的故事，你曾經遇過或聽過哪些問題是可以用機率的方法解決的嗎？找個好朋友一起討論，你也可以成為有名的機率問題專家喔！
31吉普賽讀心術的祕密
小朋友，有沒有在電影裡看過占卜水晶球？通常是由一位長髮、包著頭巾的吉普賽女子，坐在昏暗神祕的房間內，透過一顆大大的水晶球為客人占卜算命（如圖31-1所示）。
網路上有一個網站（如圖31-2所示），出現一個可以讀心的藍色水晶球！只要你內心選定一個二位數（例如23），再減去此二位數的兩個數字和（2+3=5），也就是23-5=18，請你從圖31-2右方的「數字與符號對應表」找到計算後的數字（18）所對應的符號。記起來！然後移動滑鼠，按此藍色水晶球，在發出一個魔法聲後，水晶球上即會顯現你
剛記住的符號，多試幾次，只要你的加減計算無誤，水晶球中央都會顯現你計算後，所得數字的對應符號。
小朋友，有沒有覺得很神奇？水晶球能讀到你心裡所想的符號。想不想了解這個占卜水晶球遊戲背後的祕密呢？
32數字讀心板
小朋友，上次我們了解了吉普賽讀心術的祕密，今天想跟小朋友玩一個「數字讀心板」的遊戲。遊戲規則是：
1. 從1 ~ 30 選出一個數字。
2. 從下面五張數字讀心板（A、B、C、D、E）中尋找你選出的數字。
3. 有出現該數字的讀心板請打勾。（小心不能漏找⋯⋯）
勾完後，如何讀出你心裡所想的數字呢？
首先，將英文字母用數字取代，A = 1，B = 2，C = 4，D = 8，E = 16，接著將所有勾選的字母，轉換為數字後相加，加總後的數字即為當初你所選的數字。小朋友，你自己先試試看，答案對嗎？例如：如果你在A、B、D、E 都有打勾，則你一開始選出的數字一定是27。（因為A + B + D + E = 1 + 2 + 8 + 16 = 27）
多試幾次！確定熟練後（小心不要計算錯誤），自己在白紙上畫出這五張數字表。
拿去跟爸爸媽媽、兄弟姊妹等家人玩玩看，再去學校找同學玩玩。讓他們驚訝你竟然
能猜出他們心裡所想的數字，這種厲害的感覺一定很棒！
好玩之後，想不想知道這個「數字讀心板」背後的祕密？請你跟著我們完成以下問題，你就會知道其中的規律性。等上國中，介紹到二進位的概念時，你將會更清楚這個遊戲與此概念的關聯性。
34巴斯卡三角形（上）
小朋友，還記得之前我們介紹過解決賭徒問題，同時也是機率論創始人之一的巴斯卡（Blaise Pascal，西元1623-1662 年）嗎？本篇我們來介紹他最有名的發現，這個發現還是以他的名字來命名的喔！
首先，我們先來介紹一下巴斯卡的小故事。巴斯卡小時候身體虛弱，3歲時母親過世，雖然父親是位數學愛好者，擁有許多數學相關的藏書，但認為學習數學會消耗大量腦力，擔心巴斯卡的身體負荷不了，所以從小只讓他學習歷史及文學，並將所有的數學書籍都藏起來，預計等巴斯卡15、16歲時再拿出來讓他學習。
巴斯卡12 歲時，一次偶然的機會看到父親正在閱讀幾何的書籍，詢問父親什麼是幾何學？它有什麼用處呢？父親簡單的向他介紹三角形、正方形及圓形的性質，並說它的用處是可以幫助人們畫出正確、美麗的圖形。之後，巴斯卡自己不斷的畫出許多大大小小、不同邊長、不同特色的三角形，並告訴父親他的發現：「任何一個三角形的三個內角和是兩個直角和」，這就是我們所熟知的任意三角形的三內角和為180度。巴斯卡的父親聽完兒子的發現後，流下了感動的眼淚。他驚喜巴斯卡竟然能自己獨立做幾何學研究，於是提早搬出了歐幾里德所著的《幾何原本》讓其研讀。幾週後，巴斯卡就貫通全書，開始了他的數學研究之旅。
隔年（1636年）的某一天，想玩數字遊戲的巴斯卡在白紙上先寫一橫排的1,1,1,⋯⋯（第一列），又在左邊寫一直排的1,1,1,⋯⋯（第一行），接著寫第二橫排（第二列），寫下2, 3, 4, 5, 6, 7⋯⋯。看著紙上的數字，巴斯卡想：「接著可以寫什麼數
字呢？」他發現2 是「左邊的1」加「上面的1」，3是「左邊的2」加「上面的1」，依此類推，可以得到整個第二列的數字。所以，他想第三列是不是也可以用同樣的方式，拿「左邊的數字」加「上方的數字」而依序得出3,6,10,⋯⋯。接著繼續以此方法寫出第四、五、⋯⋯列的數字（如圖34-1所示）。這也就是巴斯卡三角形的雛形。 |
